圆/球的均匀采样

复习一下数学。也不是特别严谨的数学，但是太严谨有点钻牛角尖了。

参考：

• 看懂蒙特卡洛积分(一) 概率分布变换与随机采样
• Randomly sampling points in n-dimensional spheres. - Extreme Learning

开局，我们只有两个服从 $U(0, 1)$ 的随机变量 $\xi_0$ 和 $\xi_1$。我们需要用它们构造出在圆面或者球壳上均匀分布的点。

逆变换采样

首先讲一下如何使用一个 0-1 均匀分布的随机变量得到累积分布函数已知的随机变量。直观理解就是：随机那个变量的 CDF 值，然后通过逆函数就可以得到那个变量。

Wiki 上是这么说的：对于任何一个实数域上的随机变量 $X\in\mathbb R$，随机变量 $F^{-1}_X(U)$ 服从与 $X$ 相同的分布，其中 $F^{-1}_X$ 是 $X$ 的累积分布函数（CDF） $F_X$ 的广义逆分布函数，$U$ 是 0 到 1 的均匀分布。称之为广义是因为有的 CDF 不是严格递增，那么这个时候 $F^{-1}(p) = \inf{x\in \mathbb R: F(x)\ge p}$，即下确界（最大下界）。

简单证明一下：

• 假设 CDF $F_X$ 是单调的，尝试找到一个 $T: [0, 1]\rightarrow\mathbb R$ 使得 $T(U)$ 与 $X$ 分布相同
• 由 CDF 定义，$F_X(x)=P(X\le x)$
• 代入，$F_X(x) = P(T(U)\le x)$
• 两边应用逆函数，$F_X(x) = P(U\le T^{-1}(x))$
• 对于 0-1 均匀分布的 $U$，$P(U\le u) = u$
• 则 $F_X(x) = T^{-1}(x)$，等价于 $F^{-1}_X(u) = T(u)$

圆、球的均匀采样

所以问题的关键就是求出 CDF。

既然都是圆就用圆的坐标系求了，极坐标系极径 $\rho\in[0, 1]$，极角 $\theta\in[0, 2\pi]$；球坐标系距离 $\rho\in[0, 1]$，天顶角 $\theta\in[0, \pi]$，方位角 $\phi\in[0, 2\pi]$。

圆面均匀采样

圆面积元是 $\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta$，每个面积元的概率是 $1\over\pi$，所以概率密度函数 $f(\rho, \theta) = \frac{\rho}{\pi}$。然后求边缘概率分布：

$$\begin{split} &f(\rho) = \int_0^{2\pi}\frac{\rho}{\pi}\mathrm d \theta = 2\rho\\[2ex] &f(\theta) = \int_0^1\frac{\rho}{\pi}\mathrm d \rho = \frac{1}{2\pi} \end{split}$$

CDF：

$$\begin{split} &F(\rho) = \int_0^{\rho}2t\mathrm d t = \rho^2\\[2ex] &F(\theta) = \int_0^\theta \frac{1}{2\pi} \mathrm d t = \frac{\theta}{2\pi} \end{split}$$

所以生成方式是：

$$\begin{split} &x = \rho\cos\theta = \sqrt{\xi_0}\cos{2\pi\xi_1}\\[2ex] &y = \rho\sin\theta = \sqrt{\xi_0}\sin{2\pi\xi_1} \end{split}$$

球壳均匀采样

球面的面积元是 $\sin\theta\mathrm d\theta \mathrm d\phi$，概率密度 $f(\theta, \phi) = \frac{\sin\theta}{4\pi}$，边缘概率分布：

$$\begin{split} &f(\theta) = \int_0^{2\pi}\frac{\sin\theta}{4\pi}\mathrm d \phi = \frac{\sin\theta}{2}\\[2ex] &f(\phi) = \int_0^{\pi}\frac{\sin\theta}{4\pi}\mathrm d \theta = \frac{1}{2\pi} \end{split}$$

CDF：

$$\begin{split} &F(\theta) = \int_0^{\theta}\frac{\sin t}{2}\mathrm d t = \frac{1-\cos\theta}{2}\\[2ex] &F(\phi) = \int_0^{\phi}\frac{1}{2\pi}\mathrm d t = \frac{\phi}{2\pi} \end{split}$$

生成：

$$\begin{split} &\theta = \arccos(1 - 2\xi_0)\\[2ex] &\phi = 2\pi\xi_1 \end{split}$$

球体均匀采样

球的体积元是 $\rho^2\sin\theta\mathrm d\rho\mathrm d\theta \mathrm d\phi$，概率密度 $f(\rho, \theta, \phi) = \frac{3}{4\pi}\rho^2\sin\theta$，边缘概率分布：

$$\begin{split} &f(\rho) = \int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}\frac{3}{4\pi}\rho^2\sin\theta\mathrm d\theta\mathrm d \phi = 3\rho^2\\[2ex] &f(\theta) = \int_0^{1}\int_0^{2\pi}\frac{3}{4\pi}\rho^2\sin\theta\mathrm d\rho\mathrm d \phi = \frac{\sin\theta}{2}\\[2ex] &f(\phi) = \int_0^{1}\int_0^{\pi}\frac{3}{4\pi}\rho^2\sin\theta\mathrm d\rho\mathrm d \theta = \frac{1}{2\pi} \end{split}$$

CDF：

$$\begin{split} &F(\rho) = \int_0^{\rho}3t^2\mathrm d t = \rho^3\\[2ex] &F(\theta) = \int_0^{\theta}\frac{\sin t}{2}\mathrm d t = \frac{1-\cos\theta}{2}\\[2ex] &F(\phi) = \int_0^{\phi}\frac{1}{2\pi}\mathrm d t = \frac{\phi}{2\pi} \end{split}$$

生成，这里多用了一个随机变量：

$$\begin{split} &\rho = \xi_0^{\frac{1}{3}}\\[2ex] &\theta = \arccos(1 - 2\xi_1)\\[2ex] &\phi = 2\pi\xi_2 \end{split}$$

半球壳余弦采样

许多 BRDF 是按照余弦分布采样的，即 $p(\omega)\propto\cos\theta$，也就是如下的积分结果成立：

$$\int_0^{\pi/2}\int_0^{2\pi}c\cdot \cos\theta \sin\theta \mathrm d\theta \mathrm d\phi = 1$$

分部积分算出常数 $c=\frac{1}{\pi}$，概率密度 $f(\theta, \phi) = \frac{\cos\theta\sin\theta}{\pi}$。

继续分部积分：

$$\begin{split} &\theta = \arcsin\sqrt{\xi_0 / 2}\\[2ex] &\phi = 2\pi\xi_1 \end{split}$$

pbrt 上有另外一种方法（Malley’s method）以及证明，用到了概率分布变换。

概率分布变换

比较详细的解释，相当于从 0-1 随机变量生成任意分布变量的推广。简记一下：

由已知分布的随机变量 $X\sim f_X$ 与映射 $Y = T(X)$ 计算 $Y$ 的概率密度：

$$f_Y(y) = f_X(x)(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x})^{-1}$$

多维变量的话就是微分换成雅可比矩阵。